Three problems in harmonic analysis and approximation theory

Resumen

En esta tesis abordamos tres problemas de análisis armónico y teoría de aproximación. El primer problema se refiere a las relaciones de Hardy-Littlewood para series de Fourier en dos dimensiones, el segundo está relacionado con estimaciones de los coeficientes de un polinomio trigonométrico en diferentes bases, y el tercero se refiere a particiones multidimensionales._x000D_ _x000D_ Respecto al primer problema, demostramos el teorema de Hardy-Littlewood en dos dimensiones para funciones cuyos coeficientes de Fourier obedecen condiciones generales de monotonicidad y, lo que es importante, no son necesariamente positivos. El teorema de Hardy-Littlewood es un análogo de la identidad de Parseval que establece equivalencias entre normas de funciones y normas de sus coeficientes de Fourier bajo condiciones adicionales. Resultados de este tipo son importantes, en primer lugar, porque una vez encontrada dicha relación, quedamos libres de elegir si es más práctico tratar con funciones o con coeficientes en cada caso, como si se tuviera la identidad de Parseval. La optimalidad de nuestro resultado viene dada por un contraejemplo, que muestra que si se amplía ligeramente la clase de coeficientes considerada, la relación Hardy-Littlewood falla._x000D_ _x000D_ En el segundo problema, mostramos que para cualquier polinomio algebraico par p se puede encontrar un polinomio en cosenos con una suma arbitrariamente pequeña de los valores absolutos de los coeficientes tal que los primeros coeficientes de su representación como polinomio algebraico en cos x coincidan con los de p. Para probar el resultado mencionado, consideramos la matriz de los coeficientes de los polinomios de Chebyshev y derivamos una fórmula explícita para la inversa de sus submatrices cuadradas. En el curso de la demostración del resultado principal, también damos algunas estimaciones útiles sobre sumas de productos de coeficientes binomiales que aparecen en la expresión para las entradas de la pseudoinversa de la matriz de Vandermonde._x000D_ _x000D_ Finalmente, en el tercer problema obtenemos estimaciones para el número de particiones d-dimensionales de un número n. Mostramos que si n es suficientemente grande comparado con d, entonces el logaritmo del número de particiones d-dimensionales de n es hasta una constante absoluta n^(d/(d+1)). Para establecer el resultado, introducimos la noción de subconjuntos disponibles de los llamados conjuntos inferiores (o equivalentemente, de los diagramas de partición) y obtenemos estimaciones óptimas para sus cardinalidades en casos de n grande. Además, proporcionamos estimaciones del número de particiones d-dimensionales de n para diferentes rangos de d en términos de n, que dan la asintótica del logaritmo de este número en cada caso.

Fecha de lectura	6 mar 2024
Idioma original	Inglés
Supervisor	Sergey Tikhonov (Director/a)