representations of the p-adic three-dimensional rotation group: towards p-adic quantum computing

Resumen

Esta disertación investiga la geometría, la estructura y la teoría de la representación de los grupos ortogonales especiales compactos p-ádicos, con especial atención al de grado tres, SO(3)_p. Además de su importancia matemática, se predice que SO(3)_p y sus representaciones unitarias desempeñarán un papel central en el desarrollo del momento angular y el espín en la mecánica cuántica p-ádica. En particular, esas representaciones de la dimensión dos proporcionan un modelo adecuado de qubit p-ádico, en la base de una floreciente teoría p-ádica de información y computación cuánticas. Por lo tanto, proponemos construir un procesamiento de información cuántica utilizando elementos de las mismas representaciones de SO(3)_p como puertas lógicas cuánticas. El estudio comienza con la clasificación de las formas cuadráticas p-ádicas, según las cuales, los grupos ortogonales especiales p-ádicos compactos sólo existen de grado dos, tres y cuatro. Esto produce un grupo único SO(3)p de rotaciones en Q_p^3, un grupo único de grado cuatro, pero varias encarnaciones del grupo de rotaciones en el plano p-ádico. SO(3)_p muestra similitudes con su contraparte real, al mismo tiempo que revela diferencias debido a las propiedades de la teoría de números de Q_p, dependiendo del primo p. El primo par p=2 presenta algunas peculiaridades, por lo que en ocasiones requiere un tratamiento separado y cauteloso. Todo el grupo SO(3)_p admite una representación en términos de "ángulos" de Cardano (también conocidos como náuticos), sin embargo, esto funciona sólo para ciertos ordenamientos del producto de rotaciones alrededor de los ejes de referencia, dependiendo del número primo; además, no existe una descomposición general de Euler. Para p=2, no existe descomposición de Euler o Cardano. Expresamos la medida de Haar en SO(3)_p, así como en los otros grupos ortogonales especiales p-ádicos compactos, empleando dos enfoques: (1) una maquinaria de límite inverso de medidas de conteo, ya que estos grupos son finitos, y (2) una fórmula integral general para la medida de Haar en grupos de Lie p-ádicos, que se explotará junto con las realizaciones de cuaterniones de rotaciones p-ádicas. Esto allana el camino para el análisis armónico de estos grupos, y específicamente para sus representaciones invocando el teorema de Peter-Weyl. Dado que todas las representaciones unitarias proyectivas de dimensión finita de SO(3)_p se factorizan en algún cociente módulo p^k, k \in N, nos embarcamos en el camino de estudiar las representaciones de SO(3)_p a partir de las inducidas por SO (3)_p mod p. En particular, encontramos explícitamente qubits p-ádicos para cada p primo. Además, abordamos el problema de Clebsch-Gordan e identificamos estados entrelazados para sistemas compuestos de dos qubits p-ádicos. Finalmente comenzamos a trabajar en puertas lógicas que operan en dos qubits, a partir de las conocidas representaciones unitarias de cuatro dimensiones de SO(3)_p, con el objetivo final de proporcionar un conjunto universal de puertas.

Fecha de lectura	18 mar 2025
Idioma original	Inglés
Supervisor	Andreas Johannes Winter (Director/a), Sonia L´Innocente (Director/a) & Stefano Mancini (Director/a)