Aquesta tesi proveeix construccions generals en el context d'espais de descomposici, generalitzant els resultats clàssics de la combinatòria al context homotòpic. Això requereix desenvolupar eines generals en la teoria d'espais de descomposició i noves perspectives, que siguin d'interès general, independentment de les aplicacions a la combinatòria. Al primer capítol, resumim la teoria de l'homotopia i la combinatòria de la 2-categoria de grupoides. Continuem amb una revisió de les nocions necessàries de la teoria de categories d'ordre infinit. A continuació, resumim la teoria dels espais de descomposició. Al segon capítol, identifiquem les estructures que tenen bi(co)mòduls d'incidència: són certs espais de Segal dobles augmentats subjectes a unes condicions d'exactitud. Establim un principi d'inversió de Möbius per a (co)mòduls i una fórmula de Rota per a certes estructures més implicades anomenades configuracions de bicomòduls de Möbius. La instància més important d'aquesta última noció sorgeix com cilindres d'aplicació d'adjuncions d'ordre infinit, o més generalment d'adjuncions entre espais de descomposició de Möbius, amb l'esperit de la fórmula original de Rota. Al tercer capítol, presentem eines per proveir situacions en què s'aplica la fórmula generalitzada de Rota. Com a exemple, calculem la funció de Möbius de l'espai de descomposició dels conjunts parcialment ordenats finits i l'explotem per obtenir també una fórmula per a l'àlgebra d'incidència de qualsevol espècie de restricció dirigida, operad lliure, o més generalment monada lliure sobre una monada polinòmica finitària. Al quart capítol, mostrem que les espècies hereditàries de Schmitt indueixen espais de descomposició monoidals i exhibim la construcció de biàlgebra de Schmitt com a instància de la construcció general de biàlgebra en un espai de descomposició monoidal. A més, mostrem que aquesta estructura de biàlgebra coactua sobre l'estructura de biàlgebra de les espècies restringides subjacent, per formar una biàlgebra en comòduls. Finalment, mostrem que les espècies hereditàries indueixen a una nova família d'exemples de categories operàdiques en el sentit de Batanin i Markl. Al cinquè capítol, que representa un treball conjunt amb Joachim Kock, introduïm una noció d'antípoda per a espais de descomposició (complets) monoidals, que indueixen una noció d'antípoda feble per a les seves bialgebres d'incidència. En el cas connectat, recuperem la noció habitual d'antípoda per a les àlgebres de Hopf. En el cas no connectat expressa un principi d'inversió d'abast més limitat, però sempre suficient per calcular la funció de Möbius com μ = ζ ◦ S, tal com per a les àlgebres de Hopf. Al nivell de les espais de descomposició, l'antípoda feble pren la forma d'una diferència formal d'endofunctors lineals Seven − Sodd, i és un refinament de la construcció general d'inversió de Möbius de Gálvez–Kock–Tonks, però explotant l'estructura monoidal.
Objective combinatorics through descomposition spaces.
Carlier , L. (Autor/a). 14 jun 2019
Tesis doctoral