A la tesi doctoral amb títol "Geometria integral en espais de curvatura holomorfa constant" es resolen qüestions de geometria integral clàssica però en espais de curvatura holomorfa constant, és a dir, a l'espai hermític estàndard, a l'espai projectiu complex i a l'espai hiperbòlic complex. Per assolir l'objectiu, primer de tot, es resumeixen les principals propietats i definicions de varietats de Kähler i, en particular, dels espais de curvatura holomorfa constant. També s'introdueix el concepte de valoració en espais vectorials. Una valoració és un funcional a valors reals, de l'espai de dominis convexos, compactes, no buits, que satisfan una propietat d'additivitat. Aquest concepte està a la base de quasi tots els resultats d'aquest treball ja que aquesta noció es pot estendre en varietats regulars. Així doncs, es dedica un capítol a definir els exemples de valoracions que s'utilitzaran i també a descriure noves propietats (variacionals) de les valoracions en els espais de curvatura holomorfa constant. En aquest punt, es donen els principals resultats de la tesis. Un dels problemes d'estudi de la geometria integral clàssica consisteix a donar una expressió de la mesura de plans que talla un domini fixat de l'espai euclidià, en termes de la geometria del domini. La fórmula que s'obté a l'espai euclidià involucra els volums mixtos (o, equivalentment, per dominis amb frontera regular, les integrals de curvatura mitjana del domini). En els altres espais de curvatura seccional constant (és a dir, a l'espai projectiu i hiperbòlic real) també se satisfà una fórmula que involucra els volums mixtos. En aquest treball s'obté una expressió de la mesura de plans complexos (de dimensió complexa des de 1 fins a n & 1, on n és la dimensió complexa de l'espai ambient) que talla un domini compacte amb frontera regular. L'expressió s'obté en termes de les valoracions anomenades volums intrínsecs hermítics, que es defineixen al segon capítol de la tesis. Per provar la certesa d'aquesta expressió s'utilitzen noves fórmules variacionals, tant per la mesura de plans complexos que tallen un domini com pels volums intrínsecs hermítics. A partir del mètode variacional anterior, s'obté la fórmula de Gauss-Bonnet-Chern a l'espai projectiu i hiperbòlic complexos. A més a més, es relaciona la característica d'Euler d'un domini compacte amb la mesura d'hiperplans complexos que tallen el domini i la integral de la curvatura de Gauss. Per altra banda, s'estudia la propietat de reproductibilitat de les integrals de curvatura mitjana. Als espais de curvatura seccional constant es té una propietat reproductiva, és a dir, la integral sobre l'espai de plans d'una integral de curvatura mitjana del domini intersecció és un multiple de la mateixa integral de curvatura mitja de tot el domini. En els espais de curvatura holomorfa constant aquesta propietat no es conserva. Aquest fet s'explica també a partir de la teoria de valoracions. La demostració involucra tècniques de geometria Riemanniana i referències mòbils. Finalment, es dóna la mesura de plans coisotròpics que tallen un domini a l'espai complex. S'anomena pla coisotròpic a aquell que el seu ortogonal és totalment real. També s'estudien propietats de les hipersuperfícies (reals) generades per l'exponencial en un punt (que no són totalment geodèsiques), sobre l'espai hiperbòlic complex.
Geometria integral en espais de curvatura holomorfa constant
Abardia Bochaca, J. (Autor/a). 27 nov 2009
Tesis doctoral