Teoria homotòpica de grups finits, grups de Lie i grups de Kac-Moody

Estudiamos grupos de Lie, particularmente, grupos finitos, grupos de Lie compactos y conexos y grupos de Kac-Moody desde el punto de vista de la teoría de homotopía. Para ello se traducen propiedades algebraicas o geométricas del grupo en propiedades homotópicas de su espacio clasificador. Seguidamente se aísla cada primo por separado mediante la p-completación de Bousfield-Kan. Se estudian representaciones homotópicas y descomposiciones homológicas de grupos p-compactos. Éstos son generalizaciones en teoría de homotopía de los grupos de Lie compactos y conexos. Se abordará el establecimiento de una teoría homotópica de grupos finitos que incorporará la definición de nuevos objetos llamados grupos finitos homotópicos y que recogen axiomáticamente la esencia de la estructura p-local de los grupos finitos. Se investigarán ejemplos exóticos como Sol(q) y otros modelos homotópicos que generalizan el concepto de grupo de Chevalley y que se espera que caigan dentro de esta nueva clase de objetos. Se estudian generalizaciones de la teoría de grupos p-compactos a una de grupos de Lie homotópicos sin restricciones extras en el grupo de componentes. Para ello se toma como punto de partida la teoria de grupos p-compactos y de grupos finitos homotópicos. Se necesitará una teoría de extensiones. Investigamos asimismo grupos discretos infinitos y grupos de Kac-Moody desde la misma óptica. Los grupos de Kac-Moody, habitualmente infinito dimensionales, son generalizaciones combinatorias de grupos de Lie y se comportan como éstos en diversos aspectos. No obstante, se sabe muy poco sobre sus propiedades topológicas. Nos interesamos por el tipo de homotopía de sus espacios clasificadores y aplicaciones entre ellos incluyendo operaciones de Adams