Geometría sobre Monoides y Semianillos

La geometría algebraica sobre semianillos es un área emergente que generaliza la geometría algebraica clásica (tradicionalmente desarrollada sobre anillos y cuerpos) explorando una versión sobre semianillos, los cuales son estructuras algebraicas similares a los anillos, pero sin el requisito de inversos aditivos. Ejemplos relevantes de semianillos son los números naturales, el semianillo booleano, el semicuerpo tropical (R con infinito y las operaciones max y +) o el conjunto de ideales en un anillo (conmutativo) con las operaciones de suma y producto. La geometría algebraica estándar tiene como punto de partida la noción de espectro de un anillo R, que consiste en el conjunto de todos sus ideales primos; estos corresponden a morfismos R -> K, donde K es un cuerpo, o a los K-puntos del espectro. Sin embargo, en el caso de los semianillos, no todos los ideales (primos) son núcleos de morfismos, ni la imagen de un morfismo está determinada por su núcleo, por lo que la correspondencia se rompe y surgen diferentes candidatos para el espectro de un semianillo: el conjunto de ideales primos, el conjunto de núcleos primos o el conjunto de congruencias primas. Nuestra propuesta es llevar a cabo una formalización y un estudio en profundidad de la teoría de esquemas sobre semianillos, eligiendo los núcleos primos como punto de partida. Esta elección está motivada por algunos resultados y ejemplos preliminares, así como por la bibliografía existente, en particular el trabajo de O. Lorscheid y de Jeffrey y Noah Giansiracusa, quienes desarrollaron una teoría de valoraciones generalizada que utiliza semianillos idempotentes como target de las valoraciones y parece comportarse muy bien con respecto a los ideales núcleo. Las contribuciones esperadas de nuestro proyecto van en dos direcciones. Por un lado, proporcionar una base completa y rigurosa para los esquemas (de núcleo primo) sobre semianillos, incluyendo su formalización en un "proof assistant" computacional. Esto es potencialmente relevante para todas las aplicaciones de la geometría sobre semianillos, desde la geometría tropical hasta la geometría sobre el cuerpo con un elemento. Por otro lado, planeamos utilizar la nueva teoría para aplicaciones en geometría tropical y en cuerpos de NewtonOkounkov, dos áreas de investigación muy activas dentro de la geometría algebraica.