ANALISIS Y ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

ESTE ES UN PROYECTO DE INVESTIGACION EN LA FRONTERA ENTRE EL ANALISIS Y LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. LA ECUACION DE EULER GOBIERNA LA EVOLUCION DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE Y HA SIDO OBJETO DE NUMEROSAS INVESTIGACIONES. DESDE EL PUNTO DE VISTA MATEMATICO EXISTENCIA, UNICIDAD Y REGULARIDAD HAN SIDO LAS CUESTIONES CENTRALES. EN DIMENSION 2 ESTO ESTA MUY BIEN ENTENDIDO, PERO HAY PROBLEMAS BASICOS NO RESUELTOS EN 3 DIMENSIONES. EN DIMENSION DOS SE PUEDE PREGUNTAR POR CUESTIONES MAS PROFUNDAS. LA ECUACION DE EULER PLANAR ES EQUIVALENTE A LA ECUACION DE LA VORTICIDAD, QUE ES UNA ECUACION DE TRANSPORTE QUE ESTABLECE QUE LA VORTICIDAD ES CONSTANTE A LO LARGO DE LAS TRAYECTORIAS DE LAS PARTICULAS. SI A TIEMPO 0 UNO TIENE VORTICIDAD 1 EN UN DOMINIO D_0 Y 0 EN EL EXTERIOR, ENTONCES LA VORTICIDAD A TIEMPO T ES 1 EN EL DOMINIO D_T Y 0 EN EL EXTERIOR. CONOCER EL VORTEX PATCH D_T RESUELVE LA ECUACION DE LA VORTICIDAD. UN TEOREMA DE CHEMIN AFIRMA QUE SI EL DOMINIO INICIAL ES REGULAR LA FRONTERA DE D_T SERA REGULAR PARA TODO TIEMPO. LA ECUACION DE LA AGREGACION HA SIDO MUY ESTUDIADA RECIENTEMENTE. ESTA ECUACION SE PUEDE EXPRESAR, PARA "PATCHES", COMO UNA ECUACION DE TRANSPORTE. LA DIVERGENCIA DEL CAMPO DE VELOCIDADES YA NO ES 0, PERO HEMOS DEMOSTRADO QUE, DE NUEVO, LA FRONTERA DEL PATCH ES SIEMPRE REGULAR SI LO ES INICIALMENTE. DESDE LA PERSPECTIVA MATEMATICA TIENE SENTIDO ESTUDIAR ECUACIONES DE TRANSPORTE EN R^N CON CAMPO DE VELOCIDADES DADO POR UN NUCLEO DIFERENCIABLE FUERA DEL ORIGEN Y HOMOGENEO DE GRADO -( N-1). NOS PROPONEMOS ESTUDIAR LA REGULARIDAD EN EL BORDE PARA PATCHES, EMPEZANDO CON EL NUCLEO DE CAUCHY. PARA ESTE LA DIVERGENCIA DEL CAMPO ES LA PARTE REAL DE LA TRANSFORMADA DE BEURLING DE LA FUNCION CARACTERISTICA DEL PATCH. UNA NUEVA LINEA DE INVESTIGACION TRATA DE MINIMIZADORES DE ENERGIAS NO LOCALES QUE SON LA SUMA DE DOS TERMINOS, UNO QUE DESCRIBE LA INTERACCION MUTUA DE PARTICULAS DE UN SISTEMA Y EL SEGUNDO QUE CONFINA LAS PARTICULAS EN UNA REGION ACOTADA. SE HAN OBTEMIDO MUCHOS RESULTADOS EN EL CASO RADIAL Y RECIENTEMENTE SE HAN ENCONTRADO MINIMIZADORES EXPLICITOS EN CASOS NO RADIALES. EN NUESTRO TRABAJO LOS MINIMIZADORES SON FUNCIONES CARACTERISTICAS NORMALIZADAS DE DOMINIOS CERRADOS POR CIERTAS ELIPSES. NO ESTA CLARO PORQUE APARECEN ELIPSES NI SI SU PRESENCIA ES UN HECHO GENERICO. NOS PROPONEMOS PROFUNDIZAR EN LA CUESTION DANDO DEMOSTRACIONES MENOS CALCULISTICAS DE LOS CASOS CONOCIDOS Y CONSTRUYENDO FAMILIAS DE NUCLEOS CUYA ENERGIA SE MINIMIZA CON LA FUNCION CARACTERISTICA DEL DOMINIO INTERIOR A UNA ELIPSE.EN UNA TERCERA LINEA DE INVESTIGACION SE ESTUDIA LA REGULARIDAD DEL FLUJO DE CAMPOS VECTORIALES NO LIPSCHITZ. EN ALGUNOS CASOS HAY UNA CONEXION CON LA TEORIA DE LAS APLICACIONES CUASI CONFORMES Y SE PUEDE PROBAR LA REGULARIDAD SOBOLEV CON UN EXPONENTE MUY PRECISO. EN EL PLANO ESTO ESTA RELACIONADO CON QUE EL OPERADOR DE CAUCHY-RIEMANN DEL CAMPO SEA ACOTADO.QUEREMOS ENTENDER QUE PASA CUANDO ES LA DERIVADA RESPECTO DE LA VARIABLE COMPLEJA QUE ES ACOTADA. OTRA LINEA DE INVESTIGACION ES SOBRE HOMEOMORFISMOS QUE APARECEN EN LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD. MINIMIZADORES DE ENERGIAS APROPIADAS QUE CONTIENEN DERIVADAS SEGUNDAS DE LA DEFORMACION PERTENECEN A CIERTAS CLASES DE SOBOLEV. SI EL EXPONENTE DE SOBOLEV ES GRANDE, HAY COTAS INFERIORES POSITIVAS PARA EL JACOBIANO, PERO LA SITUACION ES MENOS CLARA PARA EXPONENTES BAJOS. QUISIERAMOS PROBAR QUE SIEMPRE EL JACOBIANO ES NO NULO CASI POR TODO.