Órbitas Periòdicas, Bifurcaciones, Integrabilidad en Sistemas Dinàmicos y sus Aplicaciones

El proyecto se enmarca en el área de los Sistemas Dinámicos, abordando dos líneas principales: la Teoría Cualitativa de Ecuaciones Diferenciales y los Sistemas Dinámicos Discretos. En la primera línea, desarrollamos una teoría cualitativa centrada en el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales de baja dimensión. Prestamos especial atención al análisis de soluciones periódicas, su número, estabilidad y bifurcaciones, así como a la integrabilidad de dichos sistemas. En particular, investigamos la existencia y el número de ciclos límite en sistemas polinomiales definidos en el plano y en el cilindro, con especial interés en las variantes del célebre Problema 16 de Hilbert. Para ello, incorporamos herramientas modernas como el cálculo en paralelo y la simulación numérica, complementando métodos clásicos como la teoría de perturbaciones, el estudio de bifurcaciones y la teoría de integrabilidad de Darboux. Además, integramos el análisis de órbitas periódicas en sistemas Hamiltonianos, especialmente aquellas asociadas a configuraciones centrales en el problema de n cuerpos de la Mecánica Celeste, utilizando la teoría del promedio como enfoque principal. La segunda línea se centra en los Sistemas Dinámicos Discretos, definidos por la iteración de funciones o recurrencias. En este ámbito, las órbitas periódicas desempeñan un papel fundamental. Nuestros objetivos incluyen el estudio de comportamientos periódicos, conjuntos límite, dinámica restringida a objetos invariantes y la caracterización del conjunto de períodos. Aunque estos objetivos son una evolución natural de proyectos anteriores, cada nueva meta abre oportunidades para avanzar en el conocimiento de los retos actuales que plantea la matemática contemporánea, con vistas a posibles aplicaciones futuras. Cabe destacar que la mayoría de los desafíos propuestos se abordarán en colaboración con investigadores de reconocido prestigio internacional, lo que garantiza un enfoque sólido y de alto impacto científico.