Mi trabajo ha girado alrededor de diversos temas en Geometría Diferencial, Convexidad y Geometría Integral.

El primer problema que estudié, propuesto personalmente por el profesor L.A. Santaló,  fue el del comportamiento asintótico de conjuntos convexos en el plano hiperbólico. Los resultados obtenidos, junto a A. Reventós, fueron publicados en el artículo Asymptotic behavior of convex sets in the hyperbolic plane en el Journal of Differential Geometry. 

Alrededor de este tema obtuve, junto a colaboradores como J. Abardia, A. Borisenko, A. Reventós y G. Solanes, reultados notables. Primero decidiendo cómo el tipo de convexidad (λ-convexidad) influye en la manera como los convexos tienden a llenar el plano hiperbólico. Posteriormente mostrando como es el comportamiento asintótico en espacios hiperbólicos de dimensión arbitraria, en variedades de Hadamard y en particular en el espacio hiperbólico complejo. 

A partir de estos trabajos fue natural plantearse cuestiones sobre la naturaleza de la convexidad, esto lo hice en trabajos publicados con A.M. Naveira, A. Reventós, G. Solanes y E. Teufel. Considero importante la demostración que damos en A kinematic formula for the total absolute curvature of intersections publicado en Advances in Geometry de una nueva condición de Hadwiger (tan solo era conocida una condición similar en el plano) para que un convexo pueda contener a otro en el espacio. Esta condición se expresa en términos de funcionales aditivos (valoraciones) asociados a los convexos.

Los trabajos en convexidad me llevaron de forma natural a la Geometría Integral. Las tesis que he dirigido, a G. Solanes y J. Abardia, trataron temas centrales en Geometría Integral moderna: desigualdades entre los volúmenes intrínsecos (y quermassintegrale), formulas de Crofton y formulas cinemáticas. Empezamos en esa época a trabajar en temas de Geometría Integral Algebráica, en la línea iniciada por los trabajos revolucionarios de S. Alesker, A. Bernig y J.H. Fu.

En el periodo que va entre mis primeros trabajos en convexidad y los trabajos en Geometría Integral dediqué unos años, los años de la tesis, al estudio de foliaciones. En particular foliaciones de Lie y formulas integrales en variedades foliadas. En este último tema son destacables los resultados sobre obstrucciones a la existencia de foliaciones con algun tipo de estructura transversa adicional, así como obstrucciones a la existencia de foliaciones transversas. 

El espacio de hojas de las foliaciones Riemannianas admite una estructura de variedad de Satake. El estudio de las foliaciones Riemannianas llevó a un resultado importante: nos permitió concretar, con A. El Kacimi, en el artículo Applications harmoniques feuilletées de Illinois Journal of Mathematics sobre la existencia de aplicaciones armónicas en este tipo de variedades con singularidades.

En los últimos años he vuelto a trabajar, con J. Cufí y A. Reventós, en temas de convexidad en el plano euclidiano. En concreto en desigualdades de tipo isoperimétrico como el estudio de la diferencia entre el deficit isoperimétrico y π veces el área de la evoluta de un convexo. Hemos dedicado especial atención a nuevas fórmulas integrales  de funciones del ángulo de visión bajo el cual se ve un conjunto convexo desde un punto exterior. Cabe remarcar que, además de continuar el estudio de cuestiones en el plano euclidiano, hemos empezado a trabajar en el espacio  tridimensional buscando relaciones entre los funcionales clásicos de volumen, área y anchura media (o curvatura de integral media) con el ángulo sólido visual. Gran parte de los resultados obtenidos en los últimos trabajos se pueden leer en los artículos: 

• J. Cufí, E. Gallego, A. Reventós, (2018). A note on Hurwitz's inequality. J. Math. Anal. Appl.  458  (2018),  no. 1, 436–451,
• J. Cufí, E. Gallego, & A. Reventós (2019). On the Integral Formulas of Crofton and Hurwitz Relative To the Visual Angle of a Convex Set. Mathematika, 65(04), 874–896. https://doi.org/10.1112/S0025579319000202.
• J. Cufí, E. Gallego, & A. Reventós (2019). Integral geometry about the visual angle of a convex set. Rendiconti Del Circolo Matematico Di Palermo. https://doi.org/10.1007/s12215-019-00461-w
• J. Cufí, E. Gallego, & A. Reventós (2021). Integral Geometry of pairs of planes. Archiv Der Mathematik, 117, 579–591. https://doi.org/10.1007/s00013-021-01651-8.
• J. Cufí, E. Gallego, & A. Reventós (2023). Integral Geometry of Pairs of Lines and Planes. In New Trends in Geometric Analysis (Vol. 10, pp. 119–140). https://doi.org/10.1007/978-3-031-39916-9_4.
• J. Bruna, J. Cufí, E. Gallego, & A. Reventós (2024). On Crofton’s type formulas and the solid angle of convex sets. Beitrage Zur Algebra Und Geometrie. https://doi.org/10.1007/s13366-023-00730-x