On Z_2^s-linear Hadamard codes and their classification using the rank and kernel

Student thesis: Doctoral thesis

Abstract

Los códigos Z₂s-aditivos son subgrupos del anillo Zn2 s y pueden considerarse como una generalización de los códigos lineales sobre Z₂ y Z₄. Se llama código Hadamard Z₂s -lineal a un código binario Hadamard que es la imagen, vía la aplicación de Gray, de uno Z₂s-aditivo. Está demostrado que para dar una clasificación completa de los códigos Hadamard Z₄-lineales se puede usar el rango o la dimensión del núcleo. El objetivo de esta tesis es clasificar la familia de los códigos Hadamard Z₂s -lineales obtenida a través de la aplicación de Gray generalizada definida por Carlet, usando el rango y la dimensión del núcleo. Primero, damos una construcción recursiva de las matrices generadoras de los códigos Hadamard aditivos sobre Z₂s correspondientes. Gracias a esta construcción, damos una demostración nueva de que las imagenes, vía la aplicación de Gray generalizada, de los códigos generados son Hadamard. Construimos el núcleo de los códigos Hadamard Z₂s -lineales de longitud 2ᵗ para s > 2 , obtenemos su dimensión y la usamos para obtener una clasificación parcial de estos códigos. A continuación, damos el rango de estos códigos para s = 3 y demostramos que, junto con la dimensión del núcleo, podemos obtener una clasificación completa de los códigos Hadamard Z₈-lineales, fijando t ≥ 3. También, para s = 3, establecemos la can- tidad exacta de códigos no equivalentes de este tipo. Por último, probamos que algnas familias de códigos Hadamard Z₂s -lineales de longitud 2ᵗ son equivalentes fijando t ≥ 3. Esto nos permite mejorar los resultados anteriores relacionados con la clasificación parcial. También damos cotas superiores e inferiores para la cantidad de códigos Hadamard Z₂s -lineales no equivalentes de longitud 2ᵗ. Más aún, calculamos la cantidad exacta de códigos no equivalentes hasta t = 11.
Date of Award28 Sept 2018
Original languageEnglish
SupervisorCristina Fernandez Cordoba (Director) & Mercè Villanueva (Director)

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