VALORACIONES NO ARQUIMEDIANAS EN GEOMETRIA Y TEORIA DE NUMEROS EXPLICITAS

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Description

EL PROYECTO SE ESTRUCTURA ENTORNO A TRES TEMAS RELACIONADOS: EL ESTUDIO DE VALORACIONES (ESPECIALMENTE EN RANGO SUPERIOR) Y SUS ESPACIOS DE PARAMETROS; LA GEOMETRIA ANALITICA NO-ARQUIMEDIANA CON APLICACIONES A LA CONSTRUCCION DE VALORES ALGEBRAICOS; Y EL ESTUDIO DE CURVAS ESPECIALES Y SUS ESPACIOS DE MODULI.

ESQUEMA DE LOS OBJETIVOS:
A) ESPACIOS DE VALORACIONES
OBJETIVO 1. PREVALORACIONES Y ESQUEMAS SOBRE SEMIANILLOS
OBJETIVO 2. EXTENSIONES PEQUEÑAS DE GRUPOS ORDENADOS
OBJETIVO 3. ARBOLES VALORATIVOS
OBJETIVO 4. CUERPOS DE NEWTON-OKOUNKOV
B) CONSTRUCCIONES ANALITICAS DE VALORES ALGEBRAICOS
OBJETIVO 5. MODULI P-ADICOS SINGULARES
OBJETIVO 6. PUNTOS DE HEEGNER Y STARK-HEEGNER PLECTICOS
OBJETIVO 7. MODULI SINGULARES COHOMOLOGICOS SOBRE CUERPOS DE FUNCIONES
OBJETIVO 8. MOTIVOS DE ANDERSONY FUNCIONES L DE PELLARIN
OBJETIVO 9. FUNCIONES L DE BIANCHI P-ADICAS Y GRUPOS DE SELMER FINOS
C) MODULI DE CURVAS ESPECIALES
OBJETIVO 10. CURVAS DE GENERO MODERADO SOBRE CUERPOS PEQUEÑOS
OBJETIVO 11. CURVAS MODULARES BIELIPTICAS Y GRUPOS DE HECKE
OBJETIVO 12. CONFIGURACIONES DE CURVAS EN DEGENERACIONES TORICAS

LAS VALORACIONES Y SUS ESPACIOS DE PARAMETROS HAN SIDO FOCO DE INTERES A LO LARGO DEL SIGLO XX, DESDE LOS TRABAJOS DE KURSCHAK, KRULL Y ZARISKI, Y DE FORMA CRECIENTE A PARTIR DE LOS 90, CUANDO TRABAJOS DE V. G. BERKOVICH, M. KNEBUSCH, R.HUBER Y OTROS PUSIERON DE RELIEVE LAS PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LOS ESPECTROS VALORATIVOS. APARECIERON LA GEOMETRIA ANALITICA DE BERKOVICH Y LOS ESPACIOS ADICOS, CAMPOS EN FASE DE RAPIDO CRECIMIENTO, EN ESPECIAL RESPECTO DE LA GEOMETRIA TROPICAL. EN ESTE CONTEXTO NOS PROPONEMOS EXTENDER LA TEORIA DE TROPICALIZACION A ESQUEMAS SOBRE SEMIANILLOS, Y ESTUDIAR LA RECTA ANALITICA SOBRE CUERPOS NO ARQUIMEDIANOS DE RANGO ARBITRARIO Y LA VARIACION DE CUERPOS DE NEWTON-OKOUNKOV RESPECTO DE LAS VALORACIONES.

EL PROBLEMA 12 DE HILBERT PLANTEA LA CONSTRUCCION DE EXTENSIONES ABELIANAS DE CUERPOS DE NUMEROS MEDIANTE LA ADJUNCION DE VALORES ESPECIALES DE FUNCIONES MODULARES. LA TEORIA DE MODULI SINGULARES PROPORCIONA UNA SOLUCION AL PROBLEMA 12 DE HILBERT EN EL CASO DE CUERPOS CUADRATICOS IMAGINARIOS, PERO PERMANECE ABIERTO EL PROBLEMA PARA CUERPOS CUADRATICOS REALES (O, EN GENERAL, PARA CUERPOS NO CM). EN TRABAJOS RECIENTES, DARMON Y VONK INTRODUJERON CIERTAS CLASES COHOMOLOGICAS P-ADICAS ASOCIADAS A CUERPOS REALES CUADRATICOS, CUYO EMPAREJAMIENTO PRODUCE VALORES P-ADICOS CONJETURALMENTE ALGEBRAICAS, Y QUE PODRIAN GENERAR LAS EXTENSIONES ABELIANAS DESEADAS. ESTO ABRIO UNA NUEVA AREA DE INVESTIGACION A LA QUE XARLES Y MASDEU YA HAN CONTRIBUIDO DE FORMA SIGNIFICATIVA. EN ESTE AREA ESTUDIAREMOS FUNCIONES L Y PERIODOS P-ADICOS, EN CARACTERISTICA P MIXTA O PURA, COMBINANDO EXPLORACION TEORICA CON CALCULOS EXPLICITOS.

EL ESTUDIO DE CURVAS PROYECTIVAS CON PROPIEDADES ESPECIALES ES UN TEMA CLASICO DE INTERES CRECIENTE PARA LA GEOMETRIA ALGEBRAICA Y ARITMETICA. NUESTRO GRUPO DISPONE DE UNA DILATADA EXPERIENCIA EN ESTE CAMPO; EN EL PROYECTO ANTERIOR PROPUSIMOS UN ESTUDIO SISTEMATICO DE LAS PROPIEDADES ARITMETICAS DE CURVAS CON SERIES LINEALES ESPECIALES Y CON GRUPOS DE AUTOMORFISMOS GRANDES, TRABAJO QUE CONDUJO DE FORMA NATURAL A NUEVAS PREGUNTAS Y NOS PROPORCIONO METODOS QUE ESPERAMOS APLICAR EN ESTE PROYECTO A OTRAS CUESTIONES COMO LAS CURVAS MODULARES BIELIPTICAS Y LOS GRUPOS DE HECKE ASOCIADOS, LA TABULACION DE CURVAS SOBRE CUERPOS PEQUEÑOS, CONFIGURACIONES DE CURVAS EN AMBIENTES TORICOS.
StatusActive
Effective start/end date1/09/2131/08/25

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