INTEGRALES SINGULARES, TEORIA GEOMETRICA DE LA MEDIDA Y EDP'S

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EN ESTE PROYECTO DESEAMOS RESOLVER VARIAS CUESTIONES EN ANALISIS GEOMETRICO COMBINANDO TECNICAS DE ANALISIS ARMONICO, TEORIA GEOMETRICA DE LA MEDIDA, Y PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE. ESTAS CUESTIONES VERSAN SOBRE INTEGRALES SINGULARES, FUNCIONES CUADRATICAS, MEDIDA ARMONICA, RECTIFICABILIDAD, CONTINUACION UNICA, Y DESIGUALDADES DE SOBOLEV. UNA CARACTERISTICA COMUN EN LA MAYOR PARTE DE LOS PROBLEMAS QUE CONSIDERAMOS ES QUE SU ESTUDIO INVOLUCRA METODOS MULTIESCALA DE LA TEORIA DE LITTLEWOOD-PALEY Y RECTIFICABILIDAD CUANTITATIVA. NUESTRO EQUIPO HA OBTENIDO RESULTADOS MUY RELEVANTES ES ESTA AREA RECIENTEMENTE.

UNA DE LAS CUESTIONES PRINCIPALES QUE AUN ESTA ABIERTA EN RELACION AL PROBLEMA DE DAVID-SEMMES EN CODIMENSION 1 ES LA CARACTERIZACION EN TERMINOS DEL POTENCIAL DE JONES-WOLFF DE LAS MEDIDAS M TALES QUE LA TRANSFORMADA DE RIESZ DE CODIMENSION 1 ES ACOTADA EN L^2(M). ESTA CARACTERIZACION IMPLICARIA LA INVARIANCIA BILIPSCHITZ DEL CONJUNTO DE DICHAS MEDIDAS M, ASI COMO LA DE LAS SINGULARIDADES EVITABLES PARA LAS FUNCIONES ARMONICAS LIPSCHITZ. ESTUDIAREMOS ESTA CUESTION Y OTROS PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL GRADIENTE DEL POTENCIAL DE CAPA SIMPLE (“SINGLE LAYER POTENTIAL”) PARA EDP’S ELIPTICAS CON COEFICIENTES HOLDER CONTINUOS, Y TAMBIEN OTRAS CUESTIONES SOBRE SINGULARIDADES EVITABLES PARA SOLUCIONES LIPSCHITZ DE LA ECUACION DEL CALOR Y DE LA ECUACION FRACCIONARIA DEL CALOR.

TAMBIEN ESTAMOS INTERESADOS EN CARACTERIZAR LA RECTIFICABILIDAD EN TERMINOS DE CIERTAS FUNCIONES CUADRATICAS. EN PARTICULAR, NOS GUSTARIA EXTENDER NUESTRA RECIENTE SOLUCION DE LA CONJETURA E^2 DE CARLESON SOBRE PUNTOS TANGENTES DE CURVAS DE JORDAN A DIMENSIONES SUPERIORES.
LA MEDIDA ARMONICA ES UNA HERRAMIENTA BASICA EN LA SOLUCION DEL PROBLEMA DE DIRICHLET PARA LA ECUACION DE LAPLACE. RECIENTEMENTE HA HABIDO AVANCES ESPECTACULARES EN ESTE TEMA, EN PARTE MOTIVADOS POR LA MAYOR COMPRENSION DE LA CONEXION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE RIESZ Y LA RECTIFICABILIDAD. SIN EMBARGO, AUN QUEDAN ALGUNAS CUESTIONES FUNDAMENTALES POR RESOLVER RELATIVAS A LAS PROPIEDADES METRICAS Y GEOMETRICAS DE LA MEDIDA ARMONICA, COMO POR EJEMPLO LAS RELATIVAS A LA DIMENSION DE LA MEDIDA ARMONICA.

TAMBIEN CONSIDERAREMOS CIERTOS PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE RELACIONADOS CON LA MEDIDA ARMONICA Y LA CONTINUACION UNICA. EN PARTICULAR, DESEAMOS ESTUDIAR LOS “BLOWUPS” EN EL CONJUNTO SINGULAR PARA EL PROBLEMA DE DOS FASES DE LA MEDIDA ARMONICA, Y TAMBIEN EN EL CONJUNTO SINGULAR PARA EL FUNCIONAL DE ALT-CAFFARELLI. OTRAS CUESTIONES AFINES TRATAN SOBRE LOS ESTRATOS DEL CONJUNTO SINGULAR PARA EL PROBLEMA DE CONTINUACION UNICA EN LA FRONTERA PARA FUNCIONES ARMONICAS O CALORICAS.

EN CUANTO AL TEMA DE LAS DESIGUALDADES DE SOBOLEV, ESTAMOS INTERESADOS EN EXTENDER ALGUNOS RESULTADOS DE TIPO “EMBEDDING” A CIERTOS ESPACIOS METRICOS DE BESOV NO DOBLANTES. EMPEZAREMOS CONSIDERANDO R^D DOTADO DE LA MEDIDA GAUSSIANA.
StatusActive
Effective start/end date1/09/2131/08/25

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