Construcció d'invariants per a la singularitat d'equacions diferencials analítiques

El objeto del proyecto es el estudio de los gérmenes de ecuaciones diferenciales w=0, donde w es una -1forma w=a(x,y)dx+b(x,y) dy con coeficientes gérmenes de funciones holomorfas en el origen de C2. Nuestro propósito es el de desarrollar técnicas de construcción efectivas de invariantes analíticos y topológicos de los gérmenes de foliaciones singulares definidas por estas ecuaciones. Sobre esta cuestión, los resultados de estos últimos años han permitido mostrar la existencia y la finitud genérica de una familia completa de invariantes holomorfos y topológicos locales, el término local significado aquí que se ha fijado una 1-forma w y que solo se consideran 1-formas "próximas" accesibles por una pequeña perturbación de w dependiendo analíticamente de un parámetro (cf. [1], [2] ). El problema de accesibilidad se halla totalmente abierto desde el punto de vista topológico. Por otro lado, en lo que se refiere a los invariantes locales, algunos de ellos resultan totalmente incomprendidos en la medida que no se sabe ni explicitarlos ni interpretarlos. El trabajo que pensamos desarrollar pretende cerrar estas dos lagunas por medio del análisis y de la redefinición de invariantes topológicos, analíticos y algebraicos y basándonos en tres tipos de técnicas: 1) La topología en dimensión 3: se trata de desarrollar, al menos en los primeros casos no triviales, una versión foliada de la descomposición de Jaco-Shalen -Johansson del complementario de las soluciones analíticas de la ecuación. 2) La variación de la estructura compleja de las hojas: determinando "formas normales" de las ecuaciones por medio de ecuaciones de Beltrami a lo largo de las hojas. 3) El grupo de Galois de la foliación: análisis de la clausura del D-grupoide de Galois de la ecuación recientemente introducido por B. Malgrange