Three problems in harmonic analysis and approximation theory

Resum

En aquesta tesi abordem tres problemes d'anàlisi harmònica i teoria d'aproximació. El primer problema fa referència a les relacions de Hardy-Littlewood per sèries de Fourier en dues dimensions, el segon està relacionat amb estimacions dels coeficients d'un polinomi trigonomètric en diferents bases, i el tercer es refereix a particions multidimensionals._x000D_ _x000D_ Pel que fa al primer problema, demostrem el teorema de Hardy-Littlewood en dues dimensions per a funcions els coeficients de Fourier de les quals obeeixen condicions generals de monotonicitat i, el que és important, no són necessàriament positius. El teorema de Hardy-Littlewood és un anàleg de la identitat de Parseval que estableix equivalències entre normes de funcions i normes dels seus coeficients de Fourier sota condicions addicionals. Resultats d'aquest tipus són importants, en primer lloc, perquè un cop trobada aquesta relació, quedem lliure d'escollir si és més pràctic tractar amb funcions o amb coeficients en cada cas, com si es tingués la identitat de Parseval. L'optimalitat del nostre resultat és donada per un contraexemple, que mostra que si s'amplia lleugerament la classe de coeficients considerada, la relació de Hardy-Littlewood falla._x000D_ _x000D_ En el segon problema, mostrem que per a qualsevol polinomi algebraic parell p es pot trobar un polinomi en cosinus amb suma arbitràriament petita dels valors absoluts dels coeficients tal que els primers coeficients de la seva representació com a polinomi algebraic en cos x coincideixin amb els de p. Per provar el resultat esmentat, considerem la matriu de coeficients dels polinomis de Chebyshev i derivem una fórmula explícita per a la inversa de les submatrius quadrades. En el curs de la demostració del resultat principal, també donem algunes estimacions útils sobre sumes de productes de coeficients binomials que apareixen a l'expressió per a les entrades de la pseudoinversa de la matriu de Vandermonde._x000D_ _x000D_ Finalment, al tercer problema obtenim estimacions per al nombre de particions d-dimensionals d'un número n. Sobretot, mostrem que si n és prou gran comparat amb d, aleshores el logaritme del nombre de particions d-dimensionals de n és fins a una constant absoluta n^(d/(d+1)). Per establir el resultat, introduïm la noció de subconjunts disponibles dels anomenats conjunts inferiors (o equivalentment, dels diagrames de partició) i obtenim estimacions òptimes per a les seves cardinalitats en casos de n gran. A més, proporcionem estimacions del nombre de particions d-dimensionals de n per a diferents rangs de d en termes de n, que donen el comportament asimptòtic del logaritme d'aquest número en cada cas.

Data del Ajut	6 de març 2024
Idioma original	Anglès
Supervisor	Sergey Tikhonov (Director/a)