SYLVESTER MATRIX RANK FUNCTIONS ON CROSSED PRODUCTS AND THE ATIYAH PROBLEM

Resum

La motivació principal de la tesi ha estat l'estudi del problema d'Atiyah, que es pregunta sobre els_x000D_ possibles valors que poden assolir els nombres de Betti l2 de grups discrets numerables G. Aquesta_x000D_ pregunta va motivar un seguit d'articles en els quals es van formular (i en alguns casos rellevants_x000D_ demostrar) enunciats més forts que la pregunta original d'Atiyah, que preguntava si hi havia grups_x000D_ discrets numerables G amb nombres de Betti l2 irracionals. Recentment, la pregunta original d'Atiyah_x000D_ ha estat resolta, i diversos autors (entre ells Austin i Grabowski) han trobat exemples de grups amb_x000D_ nombres de Betti l2 irracionals. El grup lamplighter és un d'aquests grups._x000D_ La tesi presenta un enfocament algebraic al problema d'Atiyah, considerant la clausura -regular_x000D_ de l'àlgebra de grup dins de l'àlgebra U(G) d'operadors (possiblement no acotats) a liats a l'àlgebra_x000D_ de von Neumann de G. Al treballar amb el grup lamplighter, i seguint idees d'Ara i Goodearl, es_x000D_ construeix una seqüència de -subàlgebres de l'àlgebra de grup, que proporciona un mètode per a_x000D_ realitzar l'àlgebra de grup dins del factor continu de von Neumann M. Això permet construir una_x000D_ matriu de rang de Sylvester a l'àlgebra de grup, que en aquest cas particular coincideix amb la funció de_x000D_ rang que aquesta hereta de U(G). Al observar que l'àlgebra del grup lamplighter es pot realitzar com_x000D_ a una àlgebra de producte creuat provinent d'un sistema dinàmic, i usant idees de Putnam, es mostra_x000D_ en el Capítol 2 que la construcció anterior es pot generalitzar a àlgebres de producte creuat d'un espai_x000D_ de Cantor per un homeomor sme, donant així una manera explícita de construir funcions de rang de_x000D_ Sylvester en aquestes àlgebres de producte creuat. S'estudia també la unicitat d'aquestes funcions de_x000D_ rang. Aquesta funció de rang dóna lloc a una noció de dimensió, de manera que ens permet de nir_x000D_ nombres de Betti l2 en aquest entorn més general de manera que aquests coincideixen amb la noció_x000D_ clàssica de nombres de Betti l2 en la situació de l'exemple que motiva tota la construcció, l'àlgebra_x000D_ del grup lamplighter. Seguint idees de Grabowski i aplicant les tècniques anteriors, s'ha trobat tota_x000D_ una família de nombres de Betti l2 irracionals provinents de l'àlgebra del grup lamplighter, i de fet_x000D_ s'ha pogut caracteritzar completament els nombres de Betti l2 que poden sorgir de les anomenades_x000D_ àlgebres d'hodòmetres, que també són un cas particular d'àlgebres de producte creuat. Això es fa en_x000D_ el Capítol 3._x000D_ El Capítol 4 tracta sobre completacions en rang de k-àlgebres ultramatricials, essent k un cos_x000D_ arbitrari. Es dóna una generalització d'un resultat de von Neumann i de Halperin, establint així_x000D_ una interessant analogia amb l'estructura del factor II1 hiper nit en la teoria de les àlgebres de von_x000D_ Neumann. S'obtenen resultat anàlegs en el cas de D-anells, i anells amb involució ._x000D_ També presentem, en el Capítol 5, un possible enfocament analític per atacar el problema d'Atiyah,_x000D_ a través de l'estudi dels que s'anomenen estats KMS sobre l'àlgebra de Toeplitz d'un grup(oide) G_x000D_ actuant sobre un graf E

Data del Ajut	5 de des. 2018
Idioma original	Anglès
Supervisor	Pere Ara Bertran (Director/a)