En aquesta tesi s’obtenen nous resultats sobre l’acotació d’operadors de Calderón-Zygmund en espais de Sobolev en dominis de Rd. En primer lloc es demostra un teorema de tipus T(P) vàlid per a Wn,p(U), a on U és un domini uniforme acotat de Rd, n és un nombre natural arbitrari, i p>d. Essencialment, el resultat obtingut afirma que un operador de Calderón-Zygmund de convolució és acotat en aquest espai si i solament si per a tot polinomi P de grau menor que n restringit al domini, T(P) pertany a Wn,p(U). Per a índexs p menors o iguals que d, es demostra una condició suficient per a l'acotació en termes de mesures de Carleson. En el cas n=1 i p<=d, es comprova que aquesta caracterització en termes de mesures de Carleson és també una condició necessària. El cas en què n és no enter i 0<n<1 també s'estudia, obtenint-se resultats anàlegs als anteriors per una família d'espais més àmplia que Sobolev, els anomenats espais de Triebel-Lizorkin. Una altra de les aportacions de la tesi consisteix en l'obtenció de condicions òptimes per a caracteritzar quan la transformada de Beurling de polinomis restringits a dominis B(P) pertany a l'espai de Sobolev Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla, en termes de la regularitat Besov de la frontera de U. Aquest resultat, en combinació amb els descrits en el paràgraf anterior, proporciona una condició òptima per a poder determinar quan la transformada de Beurling és acotada en Wn,p(U) en termes de la regularitat de la frontera de U per a p>2. La darrera aportació de la tesi és l'aplicació dels resultats anteriorment descrits a l'estudi de la regularitat de l'equació de Beltrami que satisfan les aplicacions quasiconformes. Essencialment, es demostra que si el coeficient de Beltrami pertany a l'espai Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla complex amb parametritzacions de la frontera en un cert espai de Besov i p>2, llavors l'aplicació quasiconforme associada està en l'espai Wn,p(U).
Singular Integral Operators on Sobolev Spaces on Domains and Quasiconformal Mappings
Prats, M. (Autor). 16 d’oct. 2015
Tesi d’estudis: Tesi doctoral
Tesi d’estudis: Tesi doctoral