representations of the p-adic three-dimensional rotation group: towards p-adic quantum computing

Resum

Aquesta tesi investiga la geometria, l'estructura i la teoria de la representació dels grups ortogonals especials p-àdics compactes, amb especial atenció al grau tres, SO(3)_p. A més de la seva importància matemàtica, es preveu que SO(3)_p i les seves representacions unitàries tinguin un paper central en el desenvolupament del moment angular i l'espín en la mecànica quàntica p-àdica. En particular, aquestes representacions de la dimensió dos proporcionen un model adequat de qubit p-àdic, en els fonaments d'una creixent teoria p-àdica de la informació i la computació quàntica. Per tant, proposem construir un processament d'informació quàntica utilitzant elements de les mateixes representacions de SO(3)_p que les portes de lògica quàntica. L'estudi comença amb la classificació de les formes quadràtiques p-àdiques, segons la qual només existeixen grups ortogonals especials p-àdics compactes de grau dos, tres i quatre. Això produeix un grup únic SO(3)p de rotacions en Q_p^3, un grup únic de grau quatre, però diverses encarnacions del grup de rotacions al pla p-àdic. SO(3)_p mostra similituds amb el seu homòleg real, alhora que revela diferències a causa de les propietats teòriques dels nombres de Q_p, depenent del primer p. El primer parell p=2 presenta algunes peculiaritats, per tant, ocasionalment requereix un tractament separat i prudent. Tot el grup SO(3)_p admet una representació en termes dels "angles" de Cardano (també conegut com nàutic), però això només funciona per a determinades ordenacions del producte de rotacions al voltant dels eixos de referència, depenent del primer; a més, no hi ha una descomposició general d'Euler. Per a p=2, no existeix cap descomposició d'Euler o Cardano. Expressem la mesura de Haar en SO(3)_p, així com en els altres grups ortogonals especials p-àdics compactes, utilitzant dos enfocaments: (1) una maquinària de límit invers de mesures de recompte, ja que aquests grups són profinis, i ( 2) una fórmula integral general per a la mesura de Haar sobre grups de Lie p-àdics, per ser explotada juntament amb les realitzacions de quaternions de rotacions p-àdiques. Això obre el camí per a l'anàlisi harmònic d'aquests grups, i específicament per a les seves representacions invocant el teorema de Peter-Weyl. Com que totes les representacions unitàries projectives de dimensions finites de SO(3)_p es factoritzen en algun quocient mòdul p^k, k \in N, ens embarquem en el camí d'estudiar les representacions de SO(3)_p partint de les induïdes per SO. (3)_p mod pàg. En particular, trobem explícitament qubits p-àdics per a cada p primer. Abordem més el problema de Clebsch-Gordan i identifiquem estats entrellaçats per a sistemes compostos de dos qubits p-àdics. Finalment comencem a treballar en portes lògiques que operen en dos qubits, a partir de les conegudes representacions unitàries de quatre dimensions de SO(3)_p, amb l'objectiu final de proporcionar un conjunt universal de portes.

Data del Ajut	18 de març 2025
Idioma original	Anglès
Supervisor	Andreas Johannes Winter (Director/a), Sonia L´Innocente (Director/a) & Stefano Mancini (Director/a)