Els codis Z₂s-additius són subgrups de l'anell Zn2s i poden considerar-se com una generalització dels codis lineals sobre Z₂ i Z₄. Es diu codi Hadamard Z₂s - lineal a un codi binari Hadamard que és la imatge, via l'aplicació de Gray, d'un Z₂s-additiu. Està demostrat que per donar una classificació completa dels codis Hadamard Z₄-lineals es pot usar el rang o la dimensió del nucli. L'objectiu d'aquesta tesi és classificar la família dels codis Hadamard Z₂s - lineals obtinguda a través de l'aplicació de Gray generalitzada definida per Carlet, usant el rang i la dimensió del nucli. Primer, donem una construcció recursiva de les matrius generadores dels codis Hadamard Z₂s-additius corresponents. Gràcies a aquesta construcció, donem una demostració nova de que les imatges, via l'aplicació de Gray generalitzada, dels codis generats són Hadamard. Construïm el nucli dels codis Hadamard Z₂s -lineals de longitud 2ᵗ per a s > 2 , obtenim la seva dimensió i la usem per obtenir una classificació parcial d'aquests codis. A continuació, donem el rang d'aquests codis per a s = 3 i demostrem que, juntament amb la dimensió del nucli, podem obtenir una classificació completa dels codis Hadamard Z₈-lineals, fixant t ≥ 3. També, per a s = 3, establim la quantitat exacta de codis no equivalents d'aquest tipus. Finalment, provem que algunes famílies de codis Hadamard Z₂s -lineals de longitud 2ᵗ són equivalents fixant t ≥ 3. Això ens permet millorar els resultats anteriors relacionats amb la classificació parcial. També donem cotes superiors i inferiors per a la quantitat de codis Hadamard Z₂s -lineals no equivalents de longitud 2ᵗ. Més encara, calculem la quantitat exacta de codis no equivalents fins a t = 11
On Z_2^s-linear Hadamard codes and their classification using the rank and kernel
Vela Cabello, C. (Autor). 28 de set. 2018
Tesi d’estudis: Tesi doctoral
Tesi d’estudis: Tesi doctoral