Aquesta tesi pertany als camps de la combinatòria algebraica i de la teoria matemàtica de la informació. Motivada per l’avantatge computacional de l’estructura full propelinear, estudiem diferents tipus de codis correctors d’errors dotats d’aquesta estructura. Com que un codi full propelinear és també un grup, és possible generar el codi a partir de les paraules associades als generadors com a grup, fins i tot si el codi és no lineal. Això ofereix els beneficis d’emmagatzematge d’un codi lineal. Rifà i Suárez van definir els codis full propelinear sobre matrius Hadamard binàries (HFP-codis) i van provar una equivalència amb els grups Hadamard. L’existència de matrius Hadamard d’ordres múltiple de quatre segueix sent un problema obert. Per tant, l’estudi de nous codis Hadamard pot contribuir a abordar la conjectura de Hadamard. Un codi amb una estructura full propelinear està compost per dos conjunts; paraules i permutacions. Definim el grup associat d’un HFP-codi com el grup format per les permutacions. Primerament, estudiem els HFP-codis amb un grup associat fixat. El següent pas és generalitzar a cossos finits els HFP-codis binaris. Després vam provar que l’existència de codis Hadamard full propelinear generalitzats és equivalent a l’existència de conjunts de diferències relatius amb paràmetres (v,w,v,v/w). A més, construïm famílies infinites de codis Hadamard full propelinear generalitzats no lineals. Finalment, definim el concepte de codi quasi-Hadamard full propelinear. També donem una equivalència entre els grups quasi-Hadamard i els codis quasi-Hadamard full propelinear. En tots els codis estudiats, analitzem el rang i la dimensió del nucli. Dos paràmetres que proporcionen informació sobre la linealitat d’un codi i sobre la noequivalència de codis.
Hadamard, quasi-Hadamard, and generalized Hadamard full propelinear codes
BAILERA MARTIN, I. (Autor). 28 de set. 2020
Tesi d’estudis: Tesi doctoral
Tesi d’estudis: Tesi doctoral