Alguns punts d'àlgebra homotòpica

Resum

L'any 1967, D. Quillen introduí la noció de categoria de models, estructura adaptada a l'estudi de l'àlgebra homotòpica. Una estruc¬tura de categoria de models en una categoria donada consisteix en l'elecció de tres classes de morfismes distingits, sotmeses a uns certs axiomes, que permeten definir una teoria d'homotopia en la categoria i representacions concretes de la categoria homotòpica. Així mateix, una estructura de categoria de models dóna criteris per a l'existència i el càlcul dels functors derivats de functors definits entre categories que posseixen la dita estructura. Aquest és el context de la memòria. Pel que fa a les categories de models, s'hi demostra que cate¬gories habituals de l'àlgebra homològica diferencial i de l'homotopia racional, com són la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc, o la d'extensions d'una àlgebra dgc fixada, tenen una tal estructura. Com a aplicació, es demostra l'existència dels functors derivats dels functors "producte tensorial" i "indescomponibles" (cap. II). Un tipus de models particulars són els models minimals, in¬troduïts a l'homotopia racional per Sullivan. En la memòria es proposa una definició categòrica dels mateixos, que comprèn altres models "minimals" de la literatura (resolucions minimals de Tate-Jozefiak, per exemple). Així mateix es demostra l'existència de tals models en les categories de complexos de cocadenes a coeficients en un anell local i en la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc (cap. IV). El punt central de la memòria és l'estudi de les estructures de categories de models i dels models minimals en les categories bifi-brades, la definició de les quals és deguda a Grothendieck. Una cate¬goria bifibrada pot pensar-se com una família de categories parame-tritzada per una altra categoria. Així, per exemple, les categories de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc qualsevol o la categoria de morfismes d'àlgebres dgc són categories bifibrades. En la memòria es demostra que tals categories admeten una estructura natural de categoria de models i es caracteritzen els seus models minimals (cap. III i IV). Entre els diversos tipus d'homotopia racional, Sullivan distingeix els formals, com aquells determinats completament per l'àlgebra de cohomologia. Aquesta noció prové d'una obstrucció homotòpica a l'existència d'estructures kälherianes sobre una varietat. En la memòria, es dóna una definició categòrica de formalitat. Aplicada a les categories bifibrades anteriors, permet generalitzar el resultat de Sullivan: la formalitat dels morfismes d'àlgebres dgc és independent del cos base (cap. IV, teorema V). L'últim capítol està dedicat al tor diferencial, functor derivat del producte tensorial de mòduls dg i àlgebres dgc. Els principals resul¬tats són la comparació de les diferents defincions del tor diferencial i la compatibilitat amb els functors d'oblit i dels indescomponibles (cap. V).

Data del Ajut	7 de febr. 1992
Idioma original	No s'ha definit/desconegut
Supervisor	Pere Pascual Gainza (Director/a)