Derivatives of the Separation Function of Generalized Saddle Connections

Una fórmula clàssica mostra que la ruptura d'una connexió entre dues cadires hiperbòliques s0+ i s0- es pot estudiar per mitjà d'una integral impropra convergent que sovint s'anomena integral de Melnikov. L'objectiu d'aquest article és estudiar l'aplicabilitat d'aquesta fórmula en situacions més generals, per exemple quan les singularitats s0± són semihiperbòliques o fins i tot nilpotents. Mostrarem que en alguns d'aquests casos la integral impropra ja no convergeix però, tanmateix, sota una hipòtesi convenient hi ha un tipus de residu que proporciona la informació desitjada. El nostre resultat principal, el teorema A, amplia l'abast de les situacions en què podem estudiar la ruptura de connexions homoclíniques o heteroclíniques. Mostrem que aquest és efectivament el cas quan s'analitzen tres exemples diferents: una connexió heteroclínica entre nodes, una connexió heteroclínica entre cadires semihiperbòliques a l'infinit i una connexió homoclínica en una singularitat no elementària a l'infinit. Com a aplicació del teorema A obtenim un resultat general destinat a estudiar la ruptura d'hemicicles i presentem diversos resultats per analitzar la pertorbació de cicles il·limitats dins d'un desplegament quadràtic que és versal.