Teoría geométrica de la medida, análisis armónico, y EDPs

Este proyecto estudia diversas cuestiones en los campos del análisis armónico, la teoría geométrica de la medida y las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) elípticas. A continuación, describimos los temas principales del proyecto. La rectificabilidad es un concepto fundamental en la teoría geométrica de la medida y desempeña un papel clave en numerosos problemas de análisis. Estos incluyen la acotación en L2 de los operadores integrales singulares y las funciones cuadráticas ("square functions"), la evitabilidad de singularidades para funciones armónicas Lipschitz y los problemas de valores en la frontera para EDPs elípticas en dominios irregulares. Uno de los objetivos principales del proyecto es investigar la relación entre la acotación de una función cuadrática cónica adecuada, la rectificabilidad y la longitud de Favard, una noción que cuantifica la proyección ortogonal de conjuntos en todas las direcciones del plano. Avanzar en este objetivo podría contribuir a resolver un aspecto abierto de la conjetura de Vitushkin sobre singularidades evitables para funciones analíticas acotadas. La medida armónica es otro tema crucial, especialmente en el contexto de la resolución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Una cuestión abierta clave en este ámbito es determinar la cota superior exacta para la dimensión de la medida armónica en el espacio euclidiano. Este proyecto busca abordar problemas relacionados con esta pregunta, así como con problemas de frontera libre que involucran la medida armónica. También investigamos los problemas de valores en la frontera para funciones armónicas y soluciones de EDPs elípticas. En particular, estamos interesados en estudiar la resolubilidad en Lp del problema de Neumann en dominios de tipo cuerda-arco, una cuestión no resuelta planteada inicialmente en la década de 1990. Otras preguntas relacionadas incluyen el problema de regularidad en dominios irregulares y su conexión con la rectificabilidad. Además, planeamos abordar una cuestión propuesta por Fang-Hua Lin sobre la continuación única de funciones armónicas que se anulan continuamente en un subconjunto relativamente abierto V de la frontera de un dominio Lipschitz, con gradientes que se anulan en un subconjunto de V con medida superficial positiva. Las funciones cuasiconformes surgen de forma natural al estudiar EDP elípticas en el plano y son fundamentales para deducir propiedades de medidas elípticas a partir de la medida armónica. Un aspecto crítico de este proyecto es entender la regularidad de las funciones cuasiconformes en términos del coeficiente de Beltrami, particularmente en la escala de espacios de Sobolev y Triebel-Lizorkin. Finalmente, el proyecto incluye un componente de análisis parabólico, enfocado en las propiedades de evitabilidad de las soluciones de la ecuación del calor y de la ecuación del calor fraccionaria. En particular, buscamos explorar estas propiedades en términos de capacidades calóricas, que son análogas a las capacidades newtoniana y Lipschitz armónica en el marco euclidiano.