Geometría Hiperbólica: Variedades de Dimensión 3, Convexidad e Integrales de Curvatura

Aquest projecte tracta de tres aspectes de geometria hiperbòlica. La geometria hiperbòlica juga un paper central en la topologia de varietats de dimesió tres, gracies als treballs de Thurson. Una de les principals conjectures consisteix en posar mètriques hiperbòliques en varietats. Un cas particular d'això és el anomenat teorema de los orbifolds, anomenat en el 1981 però pendent de demostració. El nostre objectiu és demostrar el teorema dels orbifolds en tota la seva generalitat, un cas particular del que ja ha estat demostrat per membres del grup en col·laboració amb M.Boileau de Toulouse(França). Es coneix millor, després dels treballs (GR95) I (GR99) de dos membres d'aquest grup, el comportament asintòtic dels conjunts convexos, h-convexos i ^ convexos en el planol hiperbòlic. El cocient àrea/longitud pot prendre qualsevol valor entre 0 i 1 quan els convexos creixen fins omplir tot el planell. També se sap del comportament asintòtic de h-convexos (convexos respecte horocicles) en Hn ((BM99)). En aqust cas el valor límit és 1/(n-1). El nostre objectiu és analitzar el comportament asintòtic del cocoent volumen/àrea del marge en varietats simplement conexes, completes i amb curvatura negativa. El problema de l'acotació de la curvatura total absoluta per immersions de varietats compactes va ser resolt pels espais euclídeo i elíptic per Chern i Lashof en (CL58) i por Langevin i Rosenberg en (LR96). Queda per saber com influeix la especialitat d'un ambient hiperbòlic ens proposem donar cotes inferiors de la curvatura total absoluta en funció d'invariants topològics de la varietat.