Construcció d'invariants per a la singularitat d'equacions diferencials analítiques

L'objectiu del projecte és l'estudi dels gèrmens d'equacions diferencials w=0, on w és una -1forma w=a(x,y)dx+b(x,y) dy amb coeficients gèrmens de funcions holomorfes en l'origen de C2. El nostre propòsit és el de desenvolupar tècniques de construcció efectives d'invariants analítics i topològics dels gèrmens de foliacions singulars definides per aquestes equacions. Sobre aquesta qüestió, els resultats d'aquests últims anys han permès mostrar l'existència i la finitut genèrica d'una família completa d'invariants locals holomorfes i topològics, el terme local significat aquí que s'ha fixat una 1-forma w i que sol es consideren 1-formes "pròximes" accessibles per una petita pertorbació de w depenent analíticament d'un paràmetre (cf. [1], [2] ). El problema d'accessibilitat es troba totalment obert des del punt de vista topològic. D'altra banda, referent als invariants locals, alguns d'ells resulten totalment incompresos en la mesura que no se sap ni explicitar-los ni interpretar-los. El treball que pensem desenvolupar pretén tancar aquestes dues llacunes per mitjà de l'anàlisi i de la redefinició d'invariants topològics, analítics i algebraics i basant-nos en tres tipus de tècniques: 1) La topologia en dimensió 3: es tracta de desenvolupar, almenys en els primers casos no trivials, una versió foliada de la descomposició de Jaco-Shalen -Johansson del complementari de les solucions analítiques de l'equació. 2) La variació de l'estructura complexa dels fulls: determinant "formes normals" de les equacions per mitjà d'equacions de Beltrami al llarg dels fulls. 3) El grup de Galois de la foliació: anàlisi de la clausura del D-grupoide de Galois de l'equació recentment introduït per B. Malgrange