CLASIFICACION, ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE REGULARIDAD DE ANILLOS, MODULOS, C*-ALGEBRAS Y DINAMICA

Este proyecto trata de problemas relacionados con la estructura y propiedades de regularidad de anillos, álgebras y C*-álgebras. Nuestro
estudio se llevará a cabo a través del análisis de invariantes que se pueden asociar a dichos objetos, así como de categorías de módulos.
Después del teorema de clasificación en el programa de Elliott (en el que han intervenido múltiples actores), los esfuerzos en la teoría de
C*-álgebras se encuentran actualmente en tres frentes: la obtención de una clasificación abstracta, el análisis de ejemplos que cumplan
las hipótesis del teorema y la extensión de la clasificación para otras clases, no necesariamente simples, o no necesariamente Z-estables.
Entre los ejemplos más estudiados se encuentran los productos cruzados (inspirados en los sistemas dinámicos topológicos), así como
las álgebras de grupoide. El invariante de Elliott se encuentra codificado en el semigrupo de Cuntz, de modo que este último es de
fundamental importancia.
Estudiaremos la versión dinámica de este semigrupo, introducida recientemente, y su papel en la formulación de la casi finitud no
conmutativa (en el sentido de Kerr). También usaremos una definición más amplia dirigida a anillos cualquiera para estudiar la estructura
de ideales, con atención especial a anillos de rango estable 1. Este semigrupo servirá de punto de partida para iniciar un estudio de teoría
de modelos de funciones de rango. Combinado con el intenso trabajo previo del grupo en clases de módulos numerablemente generados
y proyectivos, también abordaremos un refinamiento de este semigrupo para recuperarlo como compleción del semigrupo de Malcolmson.
Analizaremos la teoría K y la homología de las álgebras de grupoide twisted, así como la validez de la conjetura de Matui para éstas.
Usaremos métodos de teoría de monoides para abordar el Problema de Separatividad, así como para analizar el rango estable de
elementos en un monoide, con aplicaciones a la teoría de anillos.
Abordaremos el estudio de la clasificación de módulos (puro)-proyectivos infinitamente generados. Obtendremos resultados para álgebras
finitamente generadas (con especial atención a las álgebras de grupo enteras), usando herramientas categóricas y de teoría de
representación.
Recientemente ha habido un interés renovado (en álgebra conmutativa) por el estudio de ideales traza de módulos generales, que
trataremos en el caso no conmutativo. Estudiaremos los módulos finitamente generados y libres de torsión sobre ciertas clases de
dominios. Abordaremos también el estudio del caso no Noetheriano.
La pregunta consistente en hallar todas las soluciones conjuntísticas de la ecuación de Yang-Baxter, formulada por Drinfeld, ha
ocasionado una gran actividad en este tema, que es central en la Física Matemática. Construiremos soluciones de este tipo que además
sean no degeneradas, involutivas, irretractables e indescomponibles, cuyas cardinalidades no sean un cuadrado ni un primo. También
analizaremos qué tipo de soluciones simples se pueden construir como producto asimétrico de brazas.