Análisis y Ecuaciones en Derivadas Parciales

Este es un proyecto de investigación en la frontera entre el Análisis y las ecuaciones en derivadas parciales. La ecuación de Euler gobierna la evolución de un fluido incompresible y ha sido objeto de numerosas investigaciones desde distintas perspectivas, tales como física, ingeniería y matemáticas. Desde el punto de vista matemático existencia, unicidad y regularidad han sido las cuestiones centrales. En dimensión 2 esto está muy bien entendido, pero hay problemas básicos no resueltos en 3 dimensiones. En dimensión dos se puede preguntar por cuestiones más profundas. La ecuación de Euler planar es equivalente a la ecuación de la vorticidad, que es una ecuación de transporte que establece que la vorticidad es constante a lo largo de las trayec- torias de las partículas. Si a tiempo 0 uno tiene vorticidad 1 en un dominio D0 y 0 en el exterior, entonces la vorticidad a tiempo t es 1 en el dominio Dt y 0 en el exterior. Conocer el vortex patch Dt resuelve la ecuación de la vorticidad. Simulaciones numéricas muestran que, con dominios iniciales muy regulares Dt es un objeto muy complicado. Sin embargo, un teorema de Chemin afirma que la frontera es regular para todo tiempo. La conjetura de Majda (1986) afirma que si el vortex inicial tiene baja regularidad entonces se pierde la regularidad en la evolución. Quisieramos investigar esta difícil cuestión. Hay dominios con fuertes simetrías cuya evolución es una rotación alrededor del centro de masas con velocidad angular constante. Miembros del equipo han demostrado la existencia de este tipo de dominios para la ecuación cuasigeostrófica, que modela la evolución de la atmosfera sobre la superfície de la tierra. Nos planteamos producir nuevos dominios que giran por medio de métodos de desingularización. Una segunda linea de investigación trata de minimizadores de energías no locales que son la suma de dos términos, uno que describe la interacción mutua de partí;culas o individuos de un sistema y el segundo que confina las partículas en una región acotada. Este tipo de energías aparece al mode- lar varios fenómenos como la quemotaxis, los superconductores y otros. Se ha hecho mucho trabajo en el caso radial y solo recientemente se han encontrado minimizadores explícitos en casos no radiales. El trabajo de otros investigadores y el nuestro muestran que para potenciales de inter- acción Coulombianos no isotrópicos los minimizadores son funciones carac- terísticas normalizadas de elipsoides seleccionados con cuidado, bajo hipótesis apropiadas sobre el potencial de interacción. Proponemos estudiar el caso no Coulombiano en el que el potencial de interacción tiene una homogeneidad negativa mayor que menos la dimensión. El objetivo es adaptar los resultados conocidos a dimensiones tan grandes como sea posible. Una tercera linea de investigación se ocupa de los conjuntos evitables para la ecuacion del calor y otras ecuacions de evolución como la de Kolmogorov- Fokker-Planck. Un conjunto es evitable para una ecuación y una clase de funciones si cada vez que una función de la clase cumple la ecuación fuera del conjnunto también la cumple en el conjunto automaticamente. Resulta- dos clásicos describen los conjuntos evitables para las funciones analíticas o armònicas en la clase de Hölder como los conjuntos que tienen cierta medida de Hausdorff nula. Planeamos estudioar los conjuntos evitables para la ecuación de Kolgomorov. y ciertas clases de Hölder.