Análisis Complejo y temas relacionados

Nuestro proyecto se encuadra en una área donde el Análisis Complejo interactúa con el Análisis Armónico, la Teoría de Operadores y la Teoría de Procesos Estocásticos. La propuesta parte de la simbiosis en técnicas y resultados de estos temas que ha ya ha dado lugar a resultados muy relevantes en nuestro campo. Este proyecto es una continuación natural de ocho proyectos de investigación consecutivos desarrollados por nuestro equipo desde 1998, pero hemos añadido nuevos temas de relevante importancia internacional como las distancias de Wasserstein y las medidas cristalinas, que surgen de la diversificación de nuestros intereses científicos y de las recientes incorporaciones de investigadores a nuestro grupo. Nuestro equipo mantiene relaciones científicas con algunos de los mejores investigadores de nuestra área, con quienes compartimos interés en algunos de los objetivos del proyecto. Este hecho proporciona un evidente valor añadido a la propuesta. Los objetivos del proyecto se pueden clasificar en cinco líneas de investigación interrelacionadas. En la primera, trataremos de encontrar resultados importantes que relacionen propiedades de una aplicación analítica del disco unidad en sí mismo con el comportamiento de sus medidas de Aleksandrov-Clark. En la segunda, estudiaremos el tamaño de sus funciones cuadráticas hiperbólicas de Littlewood-Paley. En la tercera línea, estudiaremos estimaciones L^p del proyector de Bergman armónico y los pesos de Bekollé-Bonami. En la cuarta, proponemos explorar las distancias de Wasserstein entre medidas de Aleksandrov-Clark y las medidas cristalinas que se obtienen al aplicar la técnica de conjuntos modelo curvados de I. Meyer. En la quinta línea nuestra propuesta se centra en entender el papel que juega la armonicidad en las Leyes del Logaritmo Iterado de N. Makarov que han tenido una extraordinaria repercusión en nuestra área. En la primera línea, proponemos relacionar propiedades de una aplicación analítica del disco en sí mismo con el carácter doblante de sus medidas de Aleksandrov-Clark. Tambien exploraremos la relación entre la compresión hiperbólica de la aplicación y la condición de Bekollé-Bonami de la extensión armónica de sus medidas de Aleksandrov-Clark. En la segunda, estudiaremos estimaciones en los espacios de Lebesgue L^p de las funciones cuadráticas hiperbólicas de Littlewood-Paley de una aplicación analítica del disco en si mismo. En la tercera, consideraremos la acotación de la proyección de Bergman armónica en los espacios de Lebesgue L^p en dominios no suaves, así como las correspondientes estimaciones con pesos para pesos de Bekollé-Bonami. Estos problemas también se considerarán en el espacio euclídeo. En la cuarta línea de investigación, dada una aplicación analítica del disco en si mismo, estudiaremos la distancia de Wasserstein entre sus medidas de Aleksandrov-Clark e intentaremos relacionar los planes de transporte óptimos con el comportamiento de la aplicación. Esperamos poder relacionar la aproximación uniforme con el tamaño de estas distancias. También estudiaremos las medidas cristalinas que aparecen al aplicar el método de los conjuntos modelo curvados de I. Meyer a las medidas de Aleksandrov-Clark. Finalmente proponemos entender el papel que juega la armonicidad en la Ley del logaritmo iterado (LLI) de N. Makarov. El objetivo es encontrar las hipótesis naturales para que una función (no armónica) en un semi-espacio cumpla la LLI.